关于普通年金现值计算公式的一个证明

　　有朋友问到我普通年金现值计算公式的证明。在证明这个公式之前，我们有必要弄清其基本常识及几个重要的概念：

　　1、年金：指一种等额的，连续的款项收付。其最基本的特征是：等额的、连续的一个系列（至少应在两期以上）

　　年金有两种基本形式：（1）普通年金；（2）即付年金，也叫预付年金。普通年金是指从第一期起，在一定时间内每期期末等额发生的系列收付款项。而即付年金是指从第一期起，在一定时间内每期期初等额收付的系列款项。普通年金与即付年金的共同点：都是从第一期就开始发生。

　　2、普通年金的现值：就是指把每一期期末所发生的年金都统一地折合成现值，然后再求和。

　　3、普通年金的终值：就是指把每一期期末发生的普通年金都统一折合成最后这一期的期末价值，然后加起来就称作普通年金的终值。

　　与普通年金求终值和求现值相联系的主要问题有：

　　（1）偿债基金与偿债基金系数。偿债基金：已知年金的终值（也就是未来值），通过普通年金终值公式的逆运算求每一年年末所发生的年金A，这个求出来的年金A就称作偿债基金；偿债基金系数：普通年金终值系数的倒数即是偿债基金系数。

　　例如：10年后预计需要80万元用于某一个投资项目，假设银行的借款利率是5％，那么从现在开始，每年的年末应该至少在银行存入多少钱，才能够确保第10年的时候正好可以从银行一次性地取出80万。（2）年资本回收额与资本回收系数。普通年金现值的计算公式：P＝A·（P/A，i，n）

　　年资本回收额与年金现值互为逆运算：A＝P·i/［1－（1＋i）-n]。资本回收系数是普通年金现值系数的倒数。

　　例如：一个项目需要投入200万，项目预计使用年限10年，要求的最低投资回报率是15％，那么从第1年年末到第10年年末，每年年末收回多少投资额才能够确保在第10年年末的时候，正好可以把当初投入的200万全部收回。

　　普通年金现值公式的证明：

　　为了更清楚地理解其推导，我们不妨给出一个大家都能明白的问题：

　　我在年初将P万元存入银行，年利率是i，我计划在每年年底取出A万元，n年后，刚好将存款全部取完。那么：

　　第一年年底即第二年年初银行存款P·（1＋i）－A

　　第二年年底即第三年年初银行存款［P·（1＋i）－A］·（1＋i）－A

　　第三年年底即第四年年初银行存款｛［P·（1＋i）－A］·（1＋i）－A｝·（1＋i）－A

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　　｛［P·（1＋i）－A］·（1＋i）－A｝·（1＋i）－A＝P·（1＋i）3－A·（1＋i）2－A·（1＋i）－A

　　显然在第n年年底：

　　P·（1＋i）n－A·（1＋i）n-1－A·（1＋i）n-2－……－A·（1＋i）－A＝0，即：

　　P·（1＋i）n＝A·［1＋（1＋i）＋（1＋i）2＋……＋（1＋i）n-2＋（1＋i）n-1］。等式右边中括号中为一个首项为1、公比为（1＋i）的n项等比数列的和。所以有：

　　P·（1＋i）n＝A·［1－（1＋i）n］/［1－（1＋i）］即：

　　P·（1＋i）n＝A·［1－（1＋i）n］/－i，那么:

　　P＝A·（1＋i）－n·［1－（1＋i）n］/－i，即：P=A·［1-（1＋i）－n］/i。证毕。